Densité d’une v.a. continue. Moyenne et variance.

Probabilité d’un intervalle suivant une v.a. X :

· La probabilité d’un intervalle ] a, b ] suivant une v.a. X est la limite des fréquences de réalisations de l’événement X Î ] a, b ] dans une expérience aléatoire répétée indéfiniment.

· Par définition de la densité f(x) de la v.a. X, cette probabilité est l’intégrale de la densité définie entre x = a et x = b.

· Cette intégrale est égale à F(b) – F(a), où F(x) est une primitive de la densité f(x) (ou la dérivée de F(x) est égale à la densité f(x)).

· L’intégrale entre - ¥ et + ¥ est égale à 1.

Moyenne et variance :

· La moyenne et la variance sont définies de la façon suivante :

· Ces expressions théoriques s’expliquent en réalité facilement : f(x)dx est la probabilité p_x d’un intervalle de longueur dx et de centre x. En multipliant par la valeur x prise par la v.a. dans cet intervalle, on obtient un produit de la forme p_x x x analogue au produit p_i x x_i que l’on considère dans le cas d’une variable discrète. Par définition, l’intégrale est la limite de la somme des produits p_x x x lorsque la longueur des intervalles tend vers 0 et que leur nombre augmente indéfiniment : on retrouve la notion de moyenne et de la même façon celle de variance..